（2014•宝山区二模）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）．当x∈[0，2）时f（x）=-x2+2x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为an，且数列{an}的前n项和为Sn，则limn→∞Sn=3232．

Question

（2014•宝山区二模）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）．当x∈[0，2）时f（x）=-x²+2x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，且数列{a_n}的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

S_n=

(3)/(2)

(3)/(2)

．（其中n∈N^*）

Answer 1

∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=(1)/(3)f（x），
就是函数自变量每向右移2个单位，函数值变为原来的(1)/(3)，
∵f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，且x∈[0，2）时f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，q=(1)/(3)，
∴数列{a_n}是以1为首项，以(1)/(3)为公比的等比数列，
则Sn=(1×(1-(1)/(3n)))/(1-(1)/(3))=(3)/(2)(1-(1)/(3n))．
∴

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

(3)/(2)(1-(1)/(3n))=(3)/(2)．
故答案为：(3)/(2)．