椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1b>0>上对两焦点张角90度的点P个数为?答案〈0或2或4〉

Question

椭圆方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1b>0>上对两焦点张角90度的点P个数为?答案〈0或2或4〉

Answer 1

一、从代数上看
当椭圆上点对两焦点张角90度时：PA^2+PB^2=AB^2
设P(x0,y0),则上述等式可以表示为一个二元二次方程.这个方程显然可以无解,有两解（事实上是一对重解）以及4解.
二、从几何上看,
1.当椭圆很接近一个圆的时候,两焦点距离相当近,角APB无论如何不可能构成直角.
2.当椭圆很扁的时候,两焦点距离比较远,这时若P接近长轴端点,则角APB为锐角；若接近短轴端点,则角APB为钝角；因此在从长轴端点到短轴端点之间一定有一点为直角.这样的点有4个（上下左右对称的）.
3.当椭圆介于上述两种情况之间时,即恰在短轴端点处角APB为直角,这时只有两解
三、数形结合
请把几何和代数的结论结合起来看,何时有两解,有4解,或者无解.体会这两者的对应关系,体会几何图形如何代数化,代数方程的几何意义.