在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2

Question

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=(1)/(2)∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：(BF)/(PE)=

(1)/(2)

(1)/(2)

，并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求(BF)/(PE)的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中，
∵

∠GBO＝∠EPO

OB＝OP

∠BOG＝∠COE

，
∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）猜想(BF)/(PE)＝(1)/(2)．
证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中，
∵

∠MBN＝∠NPE

NB＝NP

∠MNB＝∠PNE＝90°

，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM=PE．
∵∠BPE=(1)/(2)∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°．
在△BPF和△MPF中，

∠BPF＝∠MPF

PF＝PF

∠PFB＝∠PFM

，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．                                        
∴BF=MF． 
即BF=(1)/(2)BM．
∴BF=(1)/(2)PE．
即(BF)/(PE)＝(1)/(2)；

（3）解法一：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
由（2）同理可得：BF=(1)/(2)BM，∠MBN=∠EPN，
∵∠BNM=∠PNE=90°，
∴△BMN∽△PEN．
∴(BM)/(PE)＝(BN)/(PN)．
在Rt△BNP中，tanα=(BN)/(PN)，
∴(BM)/(PE)=tanα．
即(2BF)/(PE)=tanα．
∴(BF)/(PE)=(1)/(2)tanα．               

解法二：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴BO⊥PM，∠BPN=∠ACB=α，
∵∠BPE=(1)/(2)∠ACB=(1)/(2)α，PF⊥BM，
∴∠EPN=(1)/(2)α．∠MBN=∠EPN=∠BPE=(1)/(2)α．
设BF=x，PE=y，EF=m，
在Rt△PFB中，tan(α)/(2)=(BF)/(PF)，
∵PF=PE+EF=y+m，
∴x=（y+m）tan(α)/(2)，
在Rt△BFE中，tan(α)/(2)=(EF)/(BF)=(m)/(x)，
∴m=x•tan(α)/(2)，
∴x=（y+xtan(α)/(2)）•tan(α)/(2)，
∴x=y•tan(α)/(2)+x•tan²(α)/(2)，
∴（1-tan²(α)/(2)）x=y•tan(α)/(2)，
∴(x)/(y)＝(tan(α)/(2))/(1−tan2(α)/(2))．
即(BF)/(PE)＝(tan(α)/(2))/(1−tan2(α)/(2))．

解法三：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BNP=∠BOC=90°．
∴∠EPN+∠NEP=90°．
又∵BF⊥PE，
∴∠FBE+∠BEF=90°．
∵∠BEF=∠NEP，
∴∠FBE=∠EPN，
∵PN∥AC，
∴∠BPN=∠BCA=α．
又∵∠BPE=(1)/(2)∠ACB=(1)/(2)α，
∴∠NPE=∠BPE=(1)/(2)α．
∴∠FBE=∠BPE=∠EPN=(1)/(2)α．
∵sin∠FPB=(BF)/(BP)，
∴BP=(BF)/(sin(α)/(2))，）
∵cos∠EPN=(PN)/(PE)，
∴PN=PE•cos(α)/(2)，
∵cos∠NPB=(PN)/(BP)，
∴PN=BP•cosα，
∴EP•cos(α)/(2)=BP•cosα，
∴EP•cos(α)/(2)=(BF)/(sin(α)/(2))•cosα，
∴(BF)/(PE)＝(sin(α)/(2)•cos(α)/(2))/(cosα)．