如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AO=CO=12，BO=DO=5，点P为线段AC上的一个动点．（1）填空：AD=CD=．（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．①试说明PM+PH为定值．②连结PB，试探

Question

如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AO=CO=12，BO=DO=5，点P为线段AC上的一个动点．

（1）填空：AD=CD=___．
（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．
①试说明PM+PH为定值．
②连结PB，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使PM+PH+PB的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AC⊥BD于点O，
∴△AOD为直角三角形．
∴AD=√(AO2+OD2)=√(122+52)=13．
∵AC⊥BD于点O，AO=CO，
∴CD=AD=13．
故答案为：13．
（2）如图1所示：连接PD．

∵S_△ADP+S_△CDP=S_△ADC，
∴(1)/(2)AD•PM+(1)/(2)DC•PH=(1)/(2)AC•OD，即(1)/(2)×13×PM+(1)/(2)×13×PH=(1)/(2)×24×5．
∴13×（PM+PH）=24×5．
∴PM+PH=(120)/(13)．
（3）∵PM+PH为定值，
∴当PB最短时，PM+PH+PB有最小值．
∵由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短．
∴当点P与点O重合时，PM+PH+PB有最小，最小值=(120)/(13)+5=(180)/(13)．