在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．

Question

在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，
（1）求直线AB和棱a所成的角；
（2）求直线AB和平面Q所成的角．

Answer 1

（1）在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，
从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C．
∴∠ABC等于AB和a所成的角，
∠ADC为两面角P-a-Q的平面角，
∴∠ADC=120°，
又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4．
连接AC，由余弦定理得AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=2²+4²-2×2×4×cos120°=28．
∴AC＝2√(7)．
又∵AD⊥a，CD⊥a，∴a⊥平面ACD，
∵BC∥a，∴BC⊥平面ACD，
∴BC⊥AC．
在直角△ABC中，sin∠ABC＝(AC)/(AB)＝(√(7))/(5)，
∴∠ABC＝arcsin(√(7))/(5)．
（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F．
∵平面ACD⊥平面Q，∴AF⊥平面Q．
在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，∴AF=2sin60°＝√(3)．
连接BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，
在△ABF为直角三角形，
∴sin∠ABF＝(AF)/(AB)＝(√(3))/(10)．∠ABF＝arcsin(√(3))/(10)．