已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，O为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．（Ⅰ）求证：CD⊥平面POC；（Ⅱ）求二面角O-PD-C的余弦值．

Question

已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，O为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角O-PD-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA=PB=AB，O为AB中点，∴PO⊥AB
∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD
∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=5
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=5
∴OC²+CD²=OD²，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，√(3))，D（-1，3，0），C（1，2，0）
∴

OP

＝(0，0，√(3))，

OD

＝(−1，3，0)，

CP

＝(−1，−2，√(3))，

CD

＝(−2，1，0)
假设平面OPD的一个法向量为

m

＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为

n

＝(x2，y2，z2)，则
由

OP

•

m

＝0

OD

•

m

＝0

可得

√(3)z1＝0

−x1+3y1＝0

，取y₁=1，得x₁=3，z₁=0，即

m

＝(3，1，0)，
由

CP

•

n

＝0

CD

•

n

＝0

可得

−x2−2y2+√(3)z2＝0

−2x2+y2＝0

，取x2＝√(3)，得y2＝2√(3)，z₂=5，
即

n

＝(√(3)，2√(3)，5)，∴cos＜

m

，

n

＞＝(m•n)/(|m||n|)＝(5√(3))/(√(10)√(40))＝(√(3))/(4)
故二面角O-PD-C的余弦值为(√(3))/(4)．…（12分）
解法二：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．
则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD=OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，
∵MN⊥PD，MN∩CM=M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，
即∠MNC是二面角O-PD-C的平面角．
在Rt△OCD中，CM＝(OC•CD)/(√(OC2+CD2))＝(√(10))/(2)，
在Rt△PCD中，CN＝(PC•CD)/(√(PC2+CD2))＝(2√(10))/(√(13))，
所以MN＝√(CN2−CM2)＝√((15)/(26))，所以cos∠MNC＝(MN)/(CN)＝(√(3))/(4)
故二面角O-PD-C的余弦值为(√(3))/(4)．…（12分）