在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点．（1）若MP⊥NQ，MP、NQ是否相等？（2）若MP=NQ，MP、NQ是否互相垂直？

Question

在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点．
（1）若MP⊥NQ，MP、NQ是否相等？
（2）若MP=NQ，MP、NQ是否互相垂直？

Answer 1

证明：如图，作PG⊥AB于G，QH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵PG⊥AB，
∴四边形BCPG是矩形，
∴PG=BC，
同理QH=AB，
∴PG=QH，
由题意可知MP⊥NQ，
∴∠NQH=∠MPG，
在△NQH与△MPG中，

∠NQH＝∠MPG

PG＝QH

∠QHN＝∠PGM

，
∴△NQH≌△MPG（ASA），
∴MP=NQ；

（2）如图，在AD上找一个点Q'，使AQ'=DQ，在BC上找一个点N'，使CN'=AQ'，连接Q'N′，
易证QN=Q'N′，
作MP⊥NQ，
由上题可知MP=NQ=Q'N′，
但MP和Q'N′不互相垂直，
故MP、NQ不一定互相垂直．