已知二次函数y=ax2-2ax+c（a>0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标

Question

已知二次函数y=ax²-2ax+c（a>0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3

（1）求A、B两点的坐标；
（2）若tan∠PDB=(5)/(4)，求这个二次函数的关系式．

Answer 1

（1）过点P作PE⊥x轴于点E，
∵y=ax²-2ax+c，
∴该二次函数的对称轴为：x=1，
∴OE=1
∵OC∥BD，
∴CP：PD=OE：EB，
∴OE：EB=2：3，
∴EB=(3)/(2)，
∴OB=OE+EB=(5)/(2)，
∴B（(5)/(2)，0）
∵A与B关于直线x=1对称，
∴A（-(1)/(2)，0）；

（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，
令x=1代入y=ax²-2ax+c，
∴y=c-a，
令x=0代入y=ax²-2ax+c，
∴y=c
∴PG=a，
∵CF=OB=(5)/(2)，
∴tan∠PDB=(CF)/(FD)，
∴FD=2，
∵PG∥BD
∴△CPG∽△CDF，
∴(PG)/(FD)=(CP)/(CD)=(2)/(5)
∴PG=(4)/(5)，
∴a=(4)/(5)，
∴y=(4)/(5)x²-(8)/(5)x+c，
把A（-(1)/(2)，0）代入y=(4)/(5)x²-(8)/(5)x+c，
∴解得：c=-1，
∴该二次函数解析式为：y=(4)/(5)x²-(8)/(5)x-1．