请问：平面内n个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?

Question

请问：平面内n个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?

Answer 1

答案是n^2-n+2,(其中n^2表示n的平方),把n=1,2,3,4分别带入公式算,发现答案分别是2,4,8,14与枚举的结果吻合.
证明如下：
著名数学家欧拉(Euler,1707-1783)给出一个公式v-e+f=2,其中v是顶点数,e是棱数,f是面数.在本题中,n个圆,两两相交,则v=2*Cn2=n(n-1),其中Cn2是从n个元素中选两个元素的组合,e=n*(2(n-1))=2n(n-1),这个式子的含义是n个圆,每个圆都被其余n-1个圆分出2(n-1)条线段,由欧拉公式,f=e-v+2=2n(n-1)-n(n-1)+2=n^2-n+2,故答案是n^2-n+2