已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．（1）求点C的轨迹C2的方程；（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的

Question

已知点G（5，4），圆C₁：（x-1）²+（x-4）²=25，过点G的动直线l与圆C₁相交于E、F两点，线段EF的中点为C．
（1）求点C的轨迹C₂的方程；
（2）若过点A（1，0）的直线l₁与C₂相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，求证|AM|•|AN|为定值．

Answer 1

（1）圆C₁：（x-1）²+（x-4）²=25，圆心C₁（1，4），半径为5，
设C（x，y），则

C1C

=（x-1，y-4），

CG

=（5-x，4-y），
∵

C1C

•

CG

=0，
∴（x-1）（5-x）+（y-4）（4-y）=0，即：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴点C的轨迹C₂的方程为：（x-3）²+（y-4）²=4；
（2）证明：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0
与x+2y+2=0联立可得N（(2k−2)/(2k+1)，-(3k)/(2k+1)），
又直线CM与l₁垂直，

y＝kx−k

y−4＝−(1)/(k)(x−3)

得M（(k2+4k+3)/(1+k2)，(4k2+2k)/(1+k2)）．
∴|AM|•|AN|=

AM

•

AN

=(2|2k+1|)/(1+k2)•√(1+k2)•(3√(1+k2))/(|2k+1|)=6为定值．