设抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，且与y轴相交于点M．（1）求b和c（用含a的代数式表示）；（2）在抛物线y=ax2-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；（3）在第（2）小题所

Question

设抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，且与y轴相交于点M．
（1）求b和c（用含a的代数式表示）；
（2）在抛物线y=ax²-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线y=ax²+bx+c上，试判断直线AC和x轴的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，
∴

a−b+c＝2

4a+2b+c＝−1

，
解得

b＝−a−1

c＝1−2a

．
（2）由（1）得，抛物线y=ax²-bx+c-1的解析式是y=ax²+（a+1）x-2a=x，
即ax²+ax-2a=0，
∵a是抛物线解析式的二次项系数，
∴a≠0，
∴方程的解是x₁=1，x₂=-2，
∴抛物线y=ax²-bx+c-1满足条件的点的坐标是P₁（1，1），P₂（-2，-2）．
（3）由（1）得抛物线y=ax²+bx+c的解析式是y=ax²-（a+1）x+1-2a，
①当P₁（1，1）在抛物线C₁上时，有a-（a+1）+1-2a=1，
解得a=-(1)/(2)，这时抛物线y=ax²+bx+c的解析式是y=-(1)/(2)x²-(1)/(2)x+2，它与y轴的交点是C（0，2）
∵点A（-1，2），C（0，2）两点的纵坐标相等，
∴直线AC平行于x轴．
②当P₂（-2，-2）在抛物线C₁上时，由4a+2（a+1）+1-2a=-2，
解得a=-(5)/(4)，这时抛物线的解析式为y=-(5)/(4)x²+(1)/(4)x+(7)/(2)，它与y轴的交点是C（0，(7)/(2)）显然A、C两点的纵坐标不相等，
∴直线AC与x轴相交，
综上所述，当P₁（1，1）在抛物线C₁上时，直线AC平行x轴；当P₂（-2，-2）在抛物线y=ax²+bx+c上时，直线AC与x轴相交．