设摆线的参数方程为x＝a(t−sint)y＝a(1−cost)其中0≤t≤2π，常数a＞0．设该摆线在0≤t≤2π部分的弧长等于该弧段绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积的数值，试求常数a．

Question

设摆线的参数方程为

x＝a(t−sint)

y＝a(1−cost)

其中0≤t≤2π，常数a＞0．设该摆线在0≤t≤2π部分的弧长等于该弧段绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积的数值，试求常数a．

Answer 1

由弧长的计算公式可得，弧长微分
ds＝√([x′(t)]2+[y′(t)]2)dt
=√((a(1−cost))2+(asint)2)dt
=√(2a2(1−cost))dt
=√(4a2sin2(t)/(2))dt
=2a|sin(t)/(2)|dt，
故该摆线在0≤t≤2π部分的弧长为
L=

∫

2π 0

ds 
=

∫

2π 0

2a|sin(t)/(2)|dt
=

∫

2π 0

2asin(t)/(2)dt
=−4acos(t)/(2)

|

2π 0

=8a．
该弧段绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
S=

∫

2π 0

y√((x′(t))2+(y′(t))2)dt
=2π

∫

2π 0

a(1−cost)2a|sin(t)/(2)|dt
=8πa2

∫

2π 0

(1−cos2(t)/(2))sin(t)/(2)dt
=−16πa2(cos(t)/(2)−(1)/(3)cos3(t)/(2))

|

2π 0

=(64π)/(3)a2．
由题意，L=S，即：
8a＝(64π)/(3)a2，
求解即得：a＝(3)/(8π)．