计算曲面积分I=∬Σyzdzdx+2dxdy，其中Σ为上半球面z=4−x2−y2的上侧．

Question

计算曲面积分I=

∬

Σ

yzdzdx+2dxdy，其中Σ为上半球面z=√(4−x2−y2)的上侧．

Answer 1

补充曲面：∑1：z＝0 (x2+y2≤4)取下侧，则
I＝

∫∫

∑+∑1

yzdzdx+2dxdy−

∫∫

∑1

yzdzdx+2dxdy=I₁-I₂
其中I₁应用高斯公式，得
I1＝

∫∫∫

Ω

zdxdydz （Ω为∑+∑₁所围成的立体区域）
=

∫

1 0

zdz

∫∫

Dz

dydz （Dz：x2+y2≤4−z2）
=(7)/(4)π
而I₂由于∑₁在zox面的投影为0，在xoy面的投影为D：x²+y²≤4
∴I2＝2

∫∫

∑1

dxdy＝−2

∫∫

D

dxdy＝−8π
∴I＝(7)/(4)π+8π＝(39)/(4)π