计算第二型曲面积分：∬Sy（x-z）dydz+x（z-y）dxdy，其中S为锥面z=x2+y2被平面z=1，z=2所截得部分的外侧．

Question

计算第二型曲面积分：

∬

S

y（x-z）dydz+x（z-y）dxdy，其中S为锥面z=√(x2+y2)被平面z=1，z=2所截得部分的外侧．

Answer 1

补充平面∑1：z＝1(x2+y2≤1)取下侧，补充平面∑2：z＝2(x2+y2≤4)取上侧，
设S+∑₁+∑₂所围成的立体区域为Ω，∑₁在xoy面的投影为D₁，∑₂在xoy面的投影为D₂，则由高斯公式和第二类曲面积分的计算，得

∬

S

y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy
=

∫∫

S+∑1+∑2

y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy-

∬

∑1

y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy-

∬

∑2

y(x−z)dydz+x(z−y)dxdy
=

∫∫∫

Ω

(x+y)dxdydz+

∫∫

D1

x(1−y)dxdy−

∫∫

D2

x(2−y)dxdy
=

∫∫∫

Ω

xdxdydz+

∫∫∫

Ω

ydxdydz+

∫∫

D1

xdxdy−

∫∫

D1

xydxdy-

∫∫

D2

2xdxdy+

∫∫

D2

xydxdy
对于两个三重积分，由于被积函数x是关于x的奇函数，而积分立体区域Ω是关于yoz面对称的；被积函数y是关于y的奇函数，而积分立体区域Ω是关于xoz面对称的
因而

∫∫∫

Ω

xdxdydz＝

∫∫∫

Ω

ydxdydz=0，
对于以D₁为积分区域的二重积分，由于被积函数x和xy是关于x的奇函数，而积分区域D₁是关于y轴对称的
因而

∫∫

D1

xdxdy＝

∫∫

D1

xydxdy=0
同理，

∫∫

D2

2xdxdy＝

∫∫

D2

xydxdy＝0
∴原式=0