设r=（x，y，z），r=|r|，计算曲面积分I=∯1r2cos（∧r，n*）dS，其中∑为球面x2+y2+（z-R）2=1（R＞0，R≠1），n*是曲面∑的单位外法向量．

Question

设

r

=（x，y，z），r=|

r

|，计算曲面积分I=

∯

(1)/(r2)cos（

∧

r

，

n*

）dS，其中∑为球面x²+y²+（z-R）²=1（R＞0，R≠1），

n*

是曲面∑的单位外法向量．

Answer 1

∵
曲面积分I=

∯

(1)/(r2)cos（

∧

r

，

n*

）dS=

∯

(r•n*)/(r3)dS=

∯

(r)/(r3)•(

n

•dS)=

∯

(r)/(r3)•d

S

，
其中(r)/(r3)＝((x，y，z))/((x2+y2+z2)−(3)/(2))，
并且除了奇点（x，y，z）=（0，0，0）外，总成立：
div((x，y，z))/((x2+y2+z2)−(3)/(2))＝0，
∴
R＞1时，曲面∑所围成区域内没有奇点，由Gauss公式可知I=0；
R＜1时，曲面∑所围成区域内有奇点（0，0，0），
从而：曲面∑可用∑'：x²+y²+z²=ɛ²（0＜ɛ＜1-R）外侧来代替，
于是，I＝

∯

∑′

(r)/(r3)d

S

=(1)/(ɛ3)

∯

∑′

r

•d

S

=(1)/(ɛ3)

∭

Ω

div(

r

)dV=(3)/(ɛ3)

∭

Ω

dV＝4π
即：I＝

0           R＞1

4π   0＜R＜1

．