老师我想再请教一个问题计算对曲面∑积分I=∫∫（x^3cosa+y^3cosb+z^3cosr)dS其中∑是锥面z^2=x^2+y^2在-1≤z≤0的部分,cosa,cosb,cosr是∑上任一点（x,y,z)的法向量的方向余弦切cosr

Question

老师 我想再请教一个问题
计算对曲面∑积分 I=∫∫（x^3cosa+y^3cosb+z^3cosr)dS 其中∑是锥面 z^2=x^2+y^2在-1≤ z ≤0的部分,cosa,cosb,cosr是∑上任一点（x,y,z)的法向量的方向余弦切cosr

Answer 1

I=∫∫（x^3cosa+y^3cosb+z^3cosr)dS

=∫∫（x^3cosa/cosr+y^3cosb/cosr+z^3)cosrdS 

=∫∫（x^3cosa/cosr+y^3cosb/cosr+z^3)dxdy

cosa/cosr=-2x/(2z)=-x/z

cosb/cosr=-2y/(2z)=-y/z

所以,

I=∫∫（x^3cosa/cosr+y^3cosb/cosr+z^3)dxdy

=∫∫(-x^4/z-y^4/z+z^3)dxdy