曲线积分设曲线由x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0,构成则∮(x+1)^2ds=?这道题怎么做?

Question

曲线积分
设曲线由x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0,构成则∮(x+1)^2ds=?
这道题怎么做?

Answer 1

∮(x+1)^2ds
=∮x²+2x+1ds
=∮x²ds+2∮xds + ∮ds
由轮换对称性有
∮x²ds=∮y²ds=∮z²ds
所以 ∮x²ds = 1/3∮x² + y² + z²ds=a²/3∮ds
=a²/3 * 2πa
=2πa³/3
（这里ds积出来正好是球的大圆周长）
同样由轮换对称性有
∮xds=∮yds=∮zds
所以 ∮xds = 1/3∮x + y + zds=∮0ds
=0
所以
∮(x+1)²ds =2πa³/3 + 2πa