利用三重积分计算曲面z=6-x2-y2与z=x2+y2所围成的立体的体积．

Question

利用三重积分计算曲面z=6-x²-y²与z=√(x2+y2)所围成的立体的体积．

Answer 1

设所围成的立体为Ω，则Ω的上半曲面是抛物面，下半曲面是开口向上的锥面，因此，宜用柱面坐标计算，
又由

z＝6−x2−y2

z＝√(x2+y2)

⇒交线

x2+y2＝4

z＝2

，
Dxy：x2+y2≤4，而r≤z≤6-r²
所以V=

∫∫∫

Ω

dV=

∫

2π 0

dθ

∫

2 0

rdr

∫

6−r2 r

dz=(32)/(3)π．