设∑是由三个坐标面和X+Y+Z=1所围成的四面体的整个边界曲面,计算∮∮xyzds.∑

Question

设∑是由三个坐标面和X+Y+Z=1所围成的四面体的整个边界曲面,计算
∮∮xyzds.
∑

Answer 1

把∑分为四个面.其中三个是三个坐标面上的直角三角形区域,在这三个面上,被积函数都是0,所以积分都是0.另外一个面∑1是平面x+y+z＝1上的等边三角形区域.
∑1的方程是z＝1－x－y,αz/αx＝－1,αz/αy＝－1,所以ds＝√3dxdy
∑1在xy面上的投影区域是D：x+y≤1,x≥0,y≥0
所以,∫∫(∑)xyzds＝∫∫(∑1) xy(1-x-y)×√3dxdy＝√3×∫(0～1)dx∫(0～1-x) xy(1-x-y)×dy＝√3/120