证明方程下列方程表示的曲面是柱面:(1)(x+y)(y+z)=x+2y+z(2)x^2+y^2+z^2+2zx-1=0并求一下母线的方向数

Question

证明方程下列方程表示的曲面是柱面:
(1)(x+y)(y+z)=x+2y+z
(2)x^2+y^2+z^2+2zx-1=0
并求一下母线的方向数

Answer 1

(1)(x+y)(y+z)=x+2y+z=(x+y)+(y+z)
记X=x+z,Z=y+z,Y=x+z,
则：XZ-X-Z=0,f(X,Z)=0表示柱面,且在新坐标系母线平行Y轴
X=0,Z=0,取Y=2
代入得：
x+z=0
y+z=0
x+z=2
解得：(1,-1,1)就是原坐标系母线方向.
2)x^2+y^2+z^2+2zx-1=0
即：(x+z)^2+y^2-1=0
记：X=x+z；Y=y；Z=x-z
则：X^2+Y^2-1=0,f(X,Y)=0表示柱面,且母线在新坐标系平行Z轴
X=1时,Y=0,取Z=1
X=x+z=1；
Y=y=0；
Z=x-z=1；
得：x=1,y=0,z=0
(1,0,0) 即原坐标系母线方向.