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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.(1)设动点

题目详情
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 =1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x 1 ,y 1 )、N(x 2 ,y 2 ),其中m>0,y 1 >0,y 2 <0.

(1)设动点P满足PF 2 -PB 2 =4,求点P的轨迹;
(2)设x 1 =2,x 2 ,求点T的坐标;
(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).
▼优质解答
答案和解析
(1)x= (2) (3)见解析

(1)设点P(x,y),则F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).由PF 2 -PB 2 =4,得(x-2) 2 +y 2 -[(x-3) 2 +y 2 ]=4,化简得x= ,故所求点P的轨迹为直线x= .
(2)将x 1 =2,x 2 分别代入椭圆方程,以及y 1 >0,y 2 <0得M 、N .直线MTA的方程为 ,即y= x+1.直线NTB的方程为 ,即y= x- .联立方程组,解得 所以点T的坐标为 .
(3)证明:点T的坐标为(9,m),直线MTA的方程为 ,即y= (x+3).直线NTB的方程为 ,即y= (x-3).
分别与椭圆 =1联立方程组,同时考虑到x 1 ≠-3,x 2 ≠3,解得
M 、N
(证法1)当x 1 ≠x 2 时,直线MN的方程为 ,令y=0,解得x=1,此时必过点D(1,0);当x 1 =x 2 时,直线MN的方程为x=1,与x轴交点为D(1,0),所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).
(证法2)若x 1 =x 2 ,则由 及m>0,得m=2 ,此时直线MN的方程为x=1,

过点D(1,0).若x 1 ≠x 2 ,则m≠2 .直线MD的斜率k MD
直线ND的斜率k ND ,得k MD =k ND ,所以直线MN过D点.
因此,直线MN必过x轴上的点D(1,0).