如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(1)设动点

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x ₁ ，y ₁ )、N(x ₂ ，y ₂ )，其中m>0，y ₁ >0，y ₂ <0.

(1)设动点P满足PF ² －PB ² ＝4，求点P的轨迹；
(2)设x ₁ ＝2，x ₂ ＝ ，求点T的坐标；
(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

Answer 1

（1）x＝ （2） （3）见解析

(1)设点P(x，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF ² －PB ² ＝4，得(x－2) ² ＋y ² －[(x－3) ² ＋y ² ]＝4，化简得x＝ ，故所求点P的轨迹为直线x＝ .
(2)将x ₁ ＝2，x ₂ ＝ 分别代入椭圆方程，以及y ₁ >0，y ₂ <0得M 、N .直线MTA的方程为 ，即y＝ x＋1.直线NTB的方程为 ，即y＝ x－ .联立方程组，解得 所以点T的坐标为 .
(3)证明：点T的坐标为(9，m)，直线MTA的方程为 ，即y＝ (x＋3)．直线NTB的方程为 ，即y＝ (x－3)．
分别与椭圆 ＝1联立方程组，同时考虑到x ₁ ≠－3，x ₂ ≠3，解得
M 、N
(证法1)当x ₁ ≠x ₂ 时，直线MN的方程为 ，令y＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x ₁ ＝x ₂ 时，直线MN的方程为x＝1，与x轴交点为D(1，0)，所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)．
(证法2)若x ₁ ＝x ₂ ，则由 及m>0，得m＝2 ，此时直线MN的方程为x＝1，

过点D(1，0)．若x ₁ ≠x ₂ ，则m≠2 .直线MD的斜率k _MD ＝ ，
直线ND的斜率k _ND ＝ ，得k _MD ＝k _ND ，所以直线MN过D点．
因此，直线MN必过x轴上的点D(1，0)．