已知函数y=x2-（m2+4）x-2m2-12．（1）当m取何值时，此函数有最小值-814，求出此时x的值；（2）求证：不论m取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标．

Question

已知函数y=x²-（m²+4）x-2m²-12．
（1）当m取何值时，此函数有最小值-(81)/(4)，求出此时x的值；
（2）求证：不论m取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标．

Answer 1

（1）y_最小=(4ac−b2)/(4a)=(4(−2m2−12)−[−(m2+4)]2)/(4)=-(81)/(4)，
m⁴+16m²-17=0
（m²-1）（m²+17）=0
∵m²+17≠0，
∴m=±1，
∴y=x²-5x-14
x=-(b)/(2a)=-(−5)/(2)=(5)/(2)，
当m=±1时，此函数有最小值-(81)/(4)，此时x=(5)/(2)；
（2）证明：∵此函数可以写成y=（x+2）•[x-（m²+6）]，
∴函数与x轴的交点为（-2，0），（m²+6，0），
∴不论m取任何实数，抛物线都过一定点，定点坐标是（-2，0）．