在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y

Question

在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆 (x2)/(9) +(y2)/(5) =1 的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x ₁ ，y ₁ ）、N（x ₂ ，y ₂ ），其中m＞0，y ₁ ＞0，y ₂ ＜0
（1）设动点P满足 (

PF

+

PB

)(

PF

-

PB

)=13 ，求点P的轨迹方程；
（2）设x ₁ =2， x 2 =(1)/(3) ，求点T的坐标；
（3）若点T在点P的轨迹上运动，问直线MN是否经过x轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）由椭圆 (x2)/(9) +(y2)/(5) =1 可得：a ² =9，b ² =5， c=

9-5

=2．
∴F（2，0），B（3，0）．
设P（x，y），则

PF

=（2-x，-y），

PB

=（3-x，-y）．
∵满足 (

PF

+

PB

)•(

PF

-

PB

)=13 ，
∴（5-2x，-2y）•（-1，0）=13，
∴2x-5=13，
化简得x=9，
故P的轨迹方程为x=9
（2）由 x 1 =2，(x21)/(9) +(y21)/(5) =1 及y ₁ ＞0得 y 1 =(5)/(3) ，则点 M(2，(5)/(3) ) ，
从而直线AM的方程为 y=(1)/(3) x+1 ；
同理可以求得直线BN的方程为 y=(5)/(6) x-(5)/(2)
联立两方程可解得 x=7，y=(10)/(3)
∴点T的坐标为 (7，(10)/(3) ) ．
（3）假设直线MN过定点，由T在点P的轨迹上，T（9，m）
直线AT的方程为 y=(m)/(12) (x+3) ，直线BT的方程为 y=(m)/(6) (x-3)
点M（x ₁ ，y ₁ ）满足

y 1 =(m)/(12) ( x 1 +3)

(x21)/(9) +(y21)/(5) =1

得 (( x1 -3)( x1 +3))/(9) =-(m2)/(122) •(( x1 +3)2)/(5) ，
又x ₁ ≠3，解得 x 1 =(240-3 m2)/(80+ m2) ，从而得 y 1 =(40m)/(80+ m2) ．
同理：x ₂ = (3 m2 -60)/(m2 +20) ，y ₂ = (-20m)/(m2 +20) ．
∴直线MN的方程： y+(20m)/(m2 +20) =(10m)/(40- m2) (x-(3 m2 -60)/(m2 +20) ) ，