（2014•浙江模拟）如图，过抛物线C1：x2=2py（p＞0）上第一象限内的点P作C1的切线，依次交抛物线C2：x2=-2py于点Q，R，过Q，R分别作C2的切线，两条切线交于点M．（1）若点P的坐标为（p，p2）

Question

（2014•浙江模拟）如图，过抛物线C₁：x²=2py（p＞0）上第一象限内的点P作C₁的切线，依次交抛物线C₂：x²=-2py于点Q，R，过Q，R分别作C₂的切线，两条切线交于点M．
（1）若点P的坐标为（p，(p)/(2)），且过抛物线C₁：x²=2py上的点P的切线点（1，0），求抛物线C₁的方程；
（2）在（1）的条件下，（i）证明：点M在抛物线C₁上；
（ii）连接MP，是否存在常数λ，使得S_△PQM=λS_△MQR？若存在，求出满足条件的常数λ，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意，对抛物线C₁求导得y′＝(1)/(p)x，
∴过抛物线C1：x2＝2py上的点P(p，(p)/(2))的切线过程为y−(p)/(2)＝(p)/(p)(x−p)，
将（1，0）代入切线方程，解得p=2，
∴抛物线C₁的方程为x²=4y．  
（2）（i）由（1）得抛物线C₂的方程为x²=-4y，
设点M，Q，R的坐标分别是（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则过点Q的切线方程为y−y1＝−(x1)/(2)(x−x1)，即y＝−(x1)/(2)x+(x21)/(4)，
过点R的切线方程为y−y2＝−(x2)/(2)(x−x2)，即y＝−(x2)/(2)x+(x22)/(4)．  
由（1）知直线QR的方程为y=x-1，由

x2＝−4y

y＝x−1

，得x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4，
由

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