如图，AC是O的直径，点B在O上，∠ACB=30°（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比

Question

如图，AC是 O的直径，点B在 O上，∠ACB=30°

（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交 O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．

Answer 1

（1）如图所示；

（2）如图2，连接OD，设 O的半径为r，
∵∠BAE=∠CDE，
∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
在R_t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=(1)/(2)AC=r，
∵∠ABD=∠ACD=45°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠DOC=90°，
在R_t△ODC中，DC=√(OD2+OC2)=√(2)r，
∴(S△ABE)/(S△CDE)=((AB)/(DC))2=((r)/(√(2)r))2=(1)/(2)．