在平面直角坐标系xoy中,已知c:x^2/3+y^2=1,斜率为k(k>0)且不过原点的直线L交椭圆c于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线X=-3于点D（-3,M)(1)求M^2+K^2的最小值；(2)若OG^2=OD*OE,求证：直

Question

在平面直角坐标系xoy中,已知c:x^2/3+y^2=1,斜率为k(k>0)且不过原点的直线L交椭圆c于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线X=-3于点D（-3,M)
(1)求M^2+K^2的最小值；
(2)若OG^2=OD*OE,求证：直线L过定点；

Answer 1

(1)、设L为：y=kx+b (b≠0) 则有：
x^2+3y^2=3 即：x^2+3(kx+b)^2=3
所以有：xA+xB=-6kb/(1+3k^2),yA+yB=2b/(1+3k^2)
射线OE交椭圆C于点G,交直线X=-3于点D（-3,M)
可得：
(yA+yB)/(xA+xB)=M/(-3)
得：kM=1
M^2+K^2≥2kM=2
所以：M^2+K^2的最小值为2.
(2)、易得：射线OE的方程为：y=-x/3k
得：x^2+x^2/3k^2=3 得：xG^2=9k^2/(1+3k^2)
yG^2=1/(1+3k^2)
则：OG^2=xG^2+yG^2=(9k^2+1)/(1+3k^2)
可得：点D为（-3,1/k)所以：OD^2=9+1/k^2=(9k^2+1)/k^2
即：OD=√ (9k^2+1)/k
根据（1）计算结果可得：OE=b√ (9k^2+1)/(1+3k^2)
因：OG^2=OD*OE,　所以：
(9k^2+1)/(1+3k^2)=(√ (9k^2+1)/k)[b√ (9k^2+1)/(1+3k^2)]
得：b/k=1
又L为：y=kx+b (b≠0) 则有：当y=0时,x=-b/k=-1
所以,直线过定点(-1,0)