已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量OM=（a，b）为函数f（x）的伴随向量，设函数g（x）=3sin(π2+x)+cos(π2−x)，（Ⅰ）求g（x）的伴随向量OM的模；（Ⅱ）若h（x）=g2（x），求h（x

Question

已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量

OM

=（a，b）为函数f（x）的伴随向量，设函数g（x）=√(3)sin((π)/(2)+x)+cos((π)/(2)−x)，
（Ⅰ）求g（x）的伴随向量

OM

的模；
（Ⅱ）若h（x）=g²（x），求h（x）在[0，(π)/(2)]内的最值及对应x的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵g(x)＝√(3)sin((π)/(2)+x)+cos((π)/(2)−x)=√(3)cosx+sinx=sinx+√(3)cosx…（3分）
∴

OM

＝(1，√(3))，|

OM

|＝√(1+3)＝2…（6分）；
（Ⅱ）由已知可得h(x)＝(sinx+√(3)cosx)2=sin2x+3cos2x+2√(3)sinxcosx=1+2cos2x+√(3)sin2x=√(3)sin2x+cos2x+2=2sin(2x+(π)/(6))+2…（8分）
∵0≤x≤(π)/(2)，(π)/(6)≤2x+(π)/(6)≤(7π)/(6)…（9分）
∴当2x+(π)/(6)＝(7π)/(6)即x＝(π)/(2)时，函数h（x）的最小值为1；
当2x+(π)/(6)＝(π)/(2)即x＝(π)/(6)时，函数h（x）的最大值为4；…（12分）