在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于A（0，4），与x轴交于点B．（1）当△AOB的面积等于18时，求直线AB的解析式；（2）以AB为边在第一象限作正方形ABCD，当B在x轴正半轴运动

Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于A（0，4），与x轴交于点B．

（1）当△AOB的面积等于18时，求直线AB的解析式；
（2）以AB为边在第一象限作正方形ABCD，当B在x轴正半轴运动时，是否存在点P，使AP+CP最小？若存在求P点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∴S_△AOB=(1)/(2)OA•OB=2OB=18，解得OB=9，
∴B（9，0）或（-9，0），
设直线AB解析式为y=kx+4，
当B（9，0）时，代入可得0=9k+4，解得k=-(4)/(9)，此时直线AB解析式为y=-(4)/(9)x+4，
当B（-9，0）时，代入可得0=-9k+4，解得k=(4)/(9)，此时直线AB解析式为y=(4)/(9)x+4，
∴直线AB解析式为y=-(4)/(9)x+4或y=(4)/(9)x+4；
（2）如图，过C作CE⊥x轴于点E，

设B（t，0）（t>0），则OB=t，且OA=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ABO=∠BCE，
在△AOB和△BEC中

∠AOB=∠BEC

∠ABO=∠BCE

AB=BC

∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=AO=4，CE=OB=t，
∴C（t+4，t），
设A点关于x轴的对称点为A′，则A′点坐标为（0，-4），连接A′C交x轴于点P，此时AP=A′P，
∴AP+CP=A′P+CP=A′C，
∵A′、P、C三点在一条直线上，
∴AP+CP最小，
可设直线CP的解析式为y=k′x-4，
把C点坐标代入可得t=k′（t+4）-4，解得k′=1，
∴直线CP解析式为y=x-4，令y=0可得x=4，
∴P（4，0），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）．