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(2014•新泰市模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知三点A、B、C的坐标分别为a(-6,0),B(2,0),C(0,3).(1)求经过A、B、C三点的抛物线的表达式.(2)过C点作CD平行于x轴交抛
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(1)求经过A、B、C三点的抛物线的表达式.
(2)过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D,求D的坐标.
(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,试问在抛物线的对称轴上是否存在着点E,使得四边形CEDP为菱形,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线经过点C(0,3),
∴可设经过A(-6,0),B(2,0),C(0,3)三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+3(a≠0),
将A、B两点的坐标代入,得
,
解得
,
∴抛物线的解析式为y=-
x2-x+3;
(2)∵CD平行于x轴,
∴D纵=C纵=3,
当y=3时,-
x2-x+3=3,
解得x1=0,x2=-4,
∴D横=-4,
∴D点的坐标为(-4,3);
(3)在抛物线的对称轴上存在着点E(-2,2),能够使得四边形CEDP为菱形.理由如下:
∵y=-
x2-x+3=-
(x2+4x+4)+1+3=-
(x+2)2+4,
∴对称轴为直线x=-2,顶点P的坐标为(-2,4).
在抛物线的对称轴上取点E(-2,2),连结CE、DE,设PE交CD于F,则PE是CD的垂直平分线,
∴CD⊥PE,CF=FD,F(-2,3),
∵P(-2,4),E(-2,2),
∴PF=EF=1,
∴四边形CEDP是菱形.
∴可设经过A(-6,0),B(2,0),C(0,3)三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+3(a≠0),
将A、B两点的坐标代入,得
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解得
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∴抛物线的解析式为y=-
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(2)∵CD平行于x轴,
∴D纵=C纵=3,
当y=3时,-
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解得x1=0,x2=-4,
∴D横=-4,

(3)在抛物线的对称轴上存在着点E(-2,2),能够使得四边形CEDP为菱形.理由如下:
∵y=-
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∴对称轴为直线x=-2,顶点P的坐标为(-2,4).
在抛物线的对称轴上取点E(-2,2),连结CE、DE,设PE交CD于F,则PE是CD的垂直平分线,
∴CD⊥PE,CF=FD,F(-2,3),
∵P(-2,4),E(-2,2),
∴PF=EF=1,
∴四边形CEDP是菱形.
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