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如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0),且a、b满足a=3−b+b−3-1,现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连

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如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0),且a、b满足a=
3−b
+
b−3
-1,现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.

(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC
(2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使S△PAB=S四边形ABDC?若存在这样一点,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
(3)点P是线段BD上的一个动点,连接PC,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合)
∠DCP+∠BOP
∠CPO
的值是否发生变化,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意得,3-b≥0且b-3≥0,
解得b≤3且b≥3,
∴b=3,
a=-1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∵点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,
∴点C(0,2),D(4,2);
∵AB=3-(-1)=3+1=4,
∴S四边形ABDC=4×2=8;

(2)∵S△PAB=S四边形ABDC
1
2
×4•OP=8,
解得OP=4,
∴点P的坐标为(0,4)或(0,-4);

(3)
∠DCP+∠BOP
∠CPO
=1,比值不变.
理由如下:由平移的性质可得AB∥CD,
如图,过点P作PE∥AB,则PE∥CD,
∴∠DCP=∠CPE,∠BOP=∠OPE,
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP,
∠DCP+∠BOP
∠CPO
=1,比值不变.