请问怎么用球面坐标做∫∫∫z^2区域是两个球体的公共部分X^2+Y^2+Z^2=R^2和X^2+Y^2+Z^2=2RZ答案是R^5pi59/480..The丶ReDs5-0423:30两球面的交线方程整理后是z=R/2,x^2+y^2=3R^2/4.这里用直角坐标系下的先

Question

请问怎么用球面坐标做
∫∫∫z^2 区域是两个球体的公共部分 X^2+Y^2+Z^2=R^2 和 X^2+Y^2+Z^2=2RZ
答案是R^5pi59/480..
The丶ReDs 5-04 23:30
两球面的交线方程整理后是z=R/2,x^2+y^2=3R^2/4.这里用直角坐标系下的先二后一的积分顺序,先xy后z.
整个区域分为两部分,上面一部分表示为：R/2≤z≤R,x^2+y^2≤R^2-z^2；下面一部分表示为：R/2≤z≤R,x^2+y^2≤2Rz-z^2.
∫∫∫z^2dv＝∫(R/2到R) z^2dz ∫∫(x^2+y^2≤R^2-z^2) dxdy＋∫(0到R/2) z^2dz ∫∫(x^2+y^2≤2Rz-z^2) dxdy＝∫(R/2到R) πz^2(R^2-z^2) dz＋∫(0到R/2) πz^2(2Rz-z^2) dz＝47πR^5/360＋πR^5/40＝59πR^5/480
robin_2006 5-05 00:02

Answer 1

根据两球面的交线z=R/2,x^2+y^2=3R^2/4,添加一个以它为底面圆,顶点为原点,z轴为对称轴的锥面,在球面坐标系下,锥面的方程是φ=π/3.用这个锥面把区域分为两部分,在球面坐标系下分别表示为：
0≤θ≤2π,0≤φ≤π/3,0≤r≤R；
0≤θ≤2π,π/3≤φ≤π/2,0≤r≤2Rcosφ