傅立叶变换公式前面的2π分之1,是怎么来的?课本采用非严格推演,如下:傅立叶复数形式展开式如下,x(t)=∑(-∞~∞)[(1/T0)*∫(-T0/2~T0/2)x(t)*e^(-jnω0t)dt]e^(jnω0t)这是在正负二分之T0的有限区间的积分

Question

傅立叶变换公式前面的2π分之1,是怎么来的?
课本采用非严格推演,如下:
傅立叶复数形式展开式如下,
x(t)=∑(-∞~∞)[(1/T0)*∫(-T0/2~T0/2)x(t)*e^(-jnω0t)dt ]e^(jnω0t)
这是在正负二分之T0的有限区间的积分,然后对T0取极限,此时对nω0的无限求和,将变成对ω的正负无穷的积分,即变成下式:
x(t)=∫(正负无穷)[(1/2π)∫(正负无穷)x(t)e^(-jωt)dt]e^(jωt)dω
第一个式子对T0取无穷,离散的nω0的确会变成连续的变量ω,但是T0本身如何处理呢,我看到第一个式子里含有3个T0,其中有2个是作为积分的上下限,我们可以直接变成第二个式子里的正负无穷,这点可以理解,但是还有一个是1/T0,这个T0该如何取极限?他是怎么变成第二个式子里的1/2π的?

Answer 1

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