如图，直线l：y=34x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是，BC=．（2）当点P在什么位置

Question

如图，直线l：y=(3)/(4)x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．

（1）点A坐标是 ___ ，BC= ___ ．
（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．
（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵y=(3)/(4)x+6
∴当x=0时，y=6，
当y=0时，x=-8，
即A的坐标是（-8，0），B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
∴OA=8，OC=8，OB=6，
由勾股定理得：BC=√(62+82)=10，
故答案为：（-8，0），10．
（2）当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA=8，P（2，0），
∴AP=8+2=10=BC，
∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，
∴∠AQP=∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO=∠BCP，
在△APQ和△CBP中，

∠AQP=∠BPC

∠BAO=∠BCP

AP=BC

，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP．
（3）分为三种情况：
①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，
∴PB=PQ，
即此时P的坐标是（2，0）；
②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，
∵∠BAO=∠BPQ，
∴∠BAO=∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，
即BP=AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP²=OP²+OB²，
∴（x+8）²=x²+6²，
解得：x=-(7)/(4)，
即此时P的坐标是（-(7)/(4)，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（-(7)/(4)，0）．