（2012•包头）已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y=-12x2+bx+c经过点A，D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设点M是直线AD上一点

Question

（2012•包头）已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y=-(1)/(2)x²+bx+c经过点A，D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设点M是直线AD上一点，且S_△AOM：S_△OMD=1：3，求点M的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，则2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（-2，0）、D（0，4）；
代入抛物线y=-(1)/(2)x²+bx+c中，得：

−(1)/(2)×4−2b+c＝0

c＝4

，解得

b＝1

c＝4

∴抛物线的解析式：y=-(1)/(2)x²+x+4；
令y=0，得：0=-(1)/(2)x²+x+4，解得 x₁=-2、x₂=4
∴点B（4，0）．

（2）∵S_△AOM：S_△OMD=1：3，∴AM：MD=1：3；
过点M作MN⊥x轴于N，如右图；
①当点M在线段AD上时，AM：AD=1：4；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=(1)/(4)OD=1、AN=(1)/(4)OA=(1)/(2)、ON=OA-AN=2-(1)/(2)=(3)/(2)；
∴M（-(3)/(2)，1）；
②当点M在线段DA的延长线上时，AM：AD=1：2；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=(1)/(2)OD=2、AN=(1)/(2)OA=1、ON=OA+AN=3；
∴M（-3，-2）；
综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（-(3)/(2)，1）、（-3，-2）．

（3）当x=2时，y=-

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