已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（1）证明：面面；（2）求与所成的角；（3）求面与面所成二面角的余弦值．

Question

已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， 底面 ，且 ， ， 是 的中点。
（1）证明：面 面 ；
（2）求 与 所成的角；
（3）求面 与面 所成二面角的余弦值．

Answer 1

已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， 底面 ，且 ， ， 是 的中点。
（1）证明：面 面 ；
（2）求 与 所成的角；
（3）求面 与面 所成二面角的余弦值．

证明：以 为坐标原点 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 .
（1）证明：因
由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，由此得 面 .又 在面 上，故面 ⊥面 .
（2）因

（3）平面 的一个法向量设为 ，

平面 的一个法向量设为 ，

所求二面角的余弦值为

（1）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面PAD．
（2）建立空间直角坐标系，写出向量 与 的坐标，然后由向量的夹角公式求得余弦值，从而得所成角的大小.
（3）分别求出平面 的法向量和面 的一个法向量，然后求出两法向量的夹角即可．