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在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程;(3)问圆C是否经过定点(其坐标与
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在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
.(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);
令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.
令x=0得y2+Ey+F=0,方程有一个根为b,代入得出E=-b-1.
所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
(3)圆C必过定点,证明如下:
假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y0=0,结合(*)式得x02+y02+2x0-y0=0,解得
或
经检验知,(-2,1)和(0,1)均在圆C上,因此圆C过定点(-2,1)和(0,1).
令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.
令x=0得y2+Ey+F=0,方程有一个根为b,代入得出E=-b-1.
所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
(3)圆C必过定点,证明如下:
假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y0=0,结合(*)式得x02+y02+2x0-y0=0,解得
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经检验知,(-2,1)和(0,1)均在圆C上,因此圆C过定点(-2,1)和(0,1).
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