矩形ABCD在如图所示的直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），BC=2AB、直线l经过点B，交AD边于点P1，此时直线l的函数表达式是y=2x+1．（1）求BC、AP1的长；（2）沿y轴负方向平移直线l，分别交AD、

Question

矩形ABCD在如图所示的直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），BC=2AB、直线l经过点B，交AD边于点P₁，此时直线l的函数表达式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的长；
（2）沿y轴负方向平移直线l，分别交AD、BC边于点P、E．
①当四边形BEPP，是菱形时，求平移的距离；
②设AP=m，当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，求m的值．

Answer 1

（1）∵直线y=2x+1经过y轴上的点B，
∴x=0，y=1，
∴B（0，1），
而A的坐标为（0，3），
∴AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴P₁的纵坐标为3，
代入y=2x+1，x=1，
∴AP₁=1；

（2）①当四边形BEPP₁是菱形时，
即BP1＝BE＝√(AP1+AB2)＝√(5)，
∴E(√(5)，1)，
设平移后的直线的解析式为y=2x+b，
把E(√(5)，1)代入得b＝1−2√(5)，
∴与y轴的交点B′(0.1−2√(5))，
∴沿y轴负方向平移的距离为BB′＝1−(1−2√(5))＝2√(5)；
②∵AP=m，AP₁=1，
∴PP₁=BE=m-1，
而S_梯形ABEP=(3)/(8)S_矩形ABCD或S_梯形ABEP=(5)/(8)S_矩形ABCD，
∴((m−1+m)•2)/(2)＝(3)/(8)×8或((m−1+m)•2)/(2)＝(5)/(8)×8．
∴m=2或者m=3，
所以m=2或3．