如图，在平面直角坐标系中，点A的纵坐标为1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1（1）求∠AOM的

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的纵坐标为1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A₁在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B₁
（1）求∠AOM的度数；
（2）点B₁的横坐标为______；
（3）求证：AB+BO=AB₁．

Answer 1

（1）∵点A关于直线MN的对称点A₁在x轴的正半轴上，
∴直线MN垂直平分AA₁，
∴AO=OA₁，
∴∠AOM=(1)/(2)∠AOA₁=(1)/(2)×（180°-30°）=75°．

（2）过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A的纵坐标为1，
∴AC=1，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴AO=2，OC=√(3)，BO=2√(3)=OB₁，
∵∠B₁DO=90°，∠DOB₁=30°，
∴B₁D=√(3)，OD=√(3)B₁D=3，
故答案为：3；

（3）∵A关于直线MN的对称点A₁在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B₁，
∴线段AB₁线段A₁B关于直线MN对称，
∴AB₁=A₁B，
而A₁B=A₁O+BO，A₁O=AO，
∴AB₁=AO+BO．