在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）过点Q(−2，2)作直线l与双曲线C1有且

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）过点Q(−√(2)，√(2))作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，求直线l的方程；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1．若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

（1）双曲线C₁：2x²-y²=1左顶点A（-(√(2))/(2)，0），
渐近线方程为：y=±√(2)x．
过A与渐近线y=√(2)x平行的直线方程为y=√(2)（x+(√(2))/(2)），即y=√(2)x+1，
所以

y＝−√(2)x

y＝√(2)x+1

，解得

x＝−(√(2))/(4)

y＝(1)/(2)

．
所以所求三角形的面积为S=(1)/(2)|OA||y|=(√(2))/(8)；
（2）由题意，直线的斜率存在，
∵过点Q(−√(2)，√(2))作直线l与双曲线C₁有且只有一个交点，
∴直线l与双曲线的渐近线平行，
∵渐近线的斜率为±√(2)，
∴直线l的方程为y-√(2)=±√(2)（x+√(2)），即y=√(2)x+2+√(2)或y=-√(2)x-2+√(2)；
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=(√(2))/(2)，则O到直线MN的距离为(√(3))/(3)．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞(√(2))/(2)），
则直线OM的方程为y=(1)/(k)x，由

y＝kx

4x2+y2＝1

得

x2＝(1)/(4+k2)

y2＝(k2)/(4+k2)

，
所以|ON|²=(1+k2)/(4+k2)．
同理|OM|²=(1+k2)/(2k2−1)，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以(1)/(d2)=(1)/(|OM|2)+(1)/(|ON|2)=3，
即d=(√(3))/(3)．
综上，O到直线MN的距离是定值．