如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），且被x轴分成的两段弧长之比为2：1，过点H（0，t）的直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方

Question

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），且被x轴分成的两段弧长之比为2：1，过点H（0，t）的直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．

（1）求圆C的方程；
（2）当t=1时，求出直线l的方程；
（3）求直线OM的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），所以圆心C在直线y=1上，
设圆C与x轴的交点分别为A、B，
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2：1，得∠ACB=(2π)/(3)，
所以CA=CB=2，圆心C的坐标为（-2，1），
所以圆C的方程为：（x+2）²+（y-1）²=4．
（2）当t=1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=mx+1，
代入圆的方程，可得M（(-4)/(m2+1)，(m2-4m+1)/(m2+1)），N（0，1）
因为以MN为直径的圆恰好经过O（0，0），
所以

OM

•

ON

=m•(m2-4m+1)/(m2+1)=0，
解得m=2±√(3)，所以所求直线l方程为y=（2±√(3)）x+1；
（3）设直线MO的方程为y=kx，
由题意知，(|-2k-1|)/(√(1+k2))≤2，解之得k≤(3)/(4)，
同理得，-(1)/(k)≤(3)/(4)，解之得k≤-(4)/(3)或k＞0．由（2）知，k=0也满足题意．
所以k的取值范围是（-∞，-(4)/(3)]∪[0，(3)/(4)]．