平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）．（1）证明：△ABC为Rt△．（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似，写出所有满

Question

平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）．
（1）证明：△ABC为Rt△．
（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似，写出所有满足条件的点D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形．
（3）在第（2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括△ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率．

Answer 1

（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，

∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），
∴AC²=1²+2²=5，BC²=（5-1）²+2²=20，AB²=5²=25，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为Rt△；

（2）①若△ABC∽△ABD，则有D₁（1，-2）；
②若△ABC∽△BAD，则有D₂（4，-1），D₃（4，1）；
③若△ABC∽△ADB，则有D₄（5，-10），D₅（5，10）；
④若△ABC∽△DAB，则有D₆（5，-2.5），D₇（5，2.5）；
⑤若△ABC∽△BDA，则有D₈（0，-10），D₉（0，10）；
⑥若△ABC∽△DBA，则有D₁₀（0，-2.5），D₁₁（0，2.5）；
所有符合要求的三角形如图所示．


（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D₁、D₂、D₃．
任意两直角顶点的连线段共有(6×5)/(2)=15条，
其中AB=5，CD₁=D₂D₃=4，CD₂=D₁D₃=5，CD₃=D₁D₂=3，
故长度为有理数的线段共7条，长度为无理数的线段共8条，
则取到长度为无理数的线段的概率为p=(8)/(15)．