设有三维列向量a1=(1+ɡ,1,1)T,a2=(1,1+ɡ,1)T,a3=(1,1,1+ɡ),β=(0,ɡ,ɡ^2),ɡ为何值时1.Β可由a1.a2.a3线性表示,且表示式是唯一的2.Β不能由a1.a2.a3线性表示3.Β可由a1.a2.a3线性表示,且有无穷多种表示式,并写出

Question

设有三维列向量a1=(1+ɡ,1,1)T,a2=(1,1+ɡ,1)T,a3=(1,1,1+ɡ),β=(0,ɡ,ɡ^2),ɡ为何值时
1.Β可由a1.a2.a3线性表示,且表示式是唯一的
2.Β不能由a1.a2.a3线性表示
3.Β可由a1.a2.a3线性表示,且有无穷多种表示式,并写出表示式

Answer 1

此问题等价于:
λ取何值时线性方程组有唯一解,无解,有无穷解(此时求出通解)
(1+λ)X1+X2+X3=0
X1+(1+λ)X2+X3=λ
X1+X2+(1+λ)X3=λ^2
解: 系数行列式 |A| =
1+λ 1 1
1 1+λ 1
1 1 1+λ
=
c1+c2+c3
3+λ 1 1
3+λ 1+λ 1
3+λ 1 1+λ
r2-r1,r3-r1
3+λ 1 1
0 λ 0
0 0 λ
= (3+λ)λ^2.
当|A|≠0, 即λ≠0且λ≠-3时, 方程组有唯一解.
当λ=0时, 增广矩阵 =
1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
r2-r1,r3-r1
1 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
此时方程组有无穷多解, 通解为 c1(1,-1,0)^T + c2(1,0,-1)^T.
当λ=-3时, 增广矩阵 =
-2 1 1 0
1 -2 1 -3
1 1 -2 9
r3+r1+r2
-2 1 1 0
1 -2 1 -3
0 0 0 6
此时方程组无解.