设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．求（Ⅰ）求A的全部特征值；（Ⅱ）A是否可以对角化？

Question

设A为三阶方阵，α₁，α₂，α₃为三维线性无关列向量组，且有Aα₁=α₂+α₃，Aα₂=α₁+α₃，Aα₃=α₁+α₂．求
（Ⅰ）求A的全部特征值；
（Ⅱ）A是否可以对角化？

Answer 1

（I）
由已知得：
A（α₁+α₂+α₃）=2（α₁+α₂+α₃），A（α₂-α₁）=-（α₂-α₁），A（α₃-α₁）=-（α₃-α₁），
又因为α₁，α₂，α₃线性无关，
所以α₁+α₂+α₃≠0，α₂-α₁≠0，α₃-α₁≠0，
所以-1，2是A的特征值，α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁是相对应的特征向量，
由α₁，α₂，α₃线性无关，得：α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁也线性无关，
所以-1是矩阵A的二重特征值，
即A的全部特征值为：-1，2．

（II）
证明：
∵（α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁）=（α₁，α₂，α₃）

1	−1	−1
1	1	0
1	0	1

，
并且

.

1	−1	−1
1	1	0
1	0	1

.

＝2，
又由α₁，α₂，α₃线性无关可知，α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁线性无关，
∴A有三个线性无关的特征向量，
从而：矩阵A可相似对角化．