问一个线性代数的问题设一个n阶矩阵A,x为一列向量组,x不等于0,Ax不等于0.那么是否能够推出矩阵A不等于0?为什么能由题设推出Ax=0,只有零解

Question

问一个线性代数的问题
设一个n阶矩阵A,x为一列向量组,x不等于0,Ax不等于0.
那么是否能够推出矩阵A不等于0?
为什么能由题设推出Ax=0,只有零解

Answer 1

题目没有表达太清楚.
x为一列向量组,x不等于0,Ax不等于0.
这是说存在一个非零列向量x,使得Ax不等于0；
还是对于任意一个非零列向量x,都有Ax不等于0.
第二：
是希望推出矩阵A不等于0,还是希望推出矩阵A行列式不等于0.
Ax=0,只有零解 与 矩阵A行列式不等于0 等价.
想要证明
矩阵A不等于0
不难
因为如果矩阵A等于0,那么对于任意x,都有Ax不等于0,所以矩阵A等于0.
想要证明
矩阵A行列式不等于0
条件：存在一个非零列向量x,使得Ax不等于0 不足够
举一例说明
A=[1 1 回车 1 1]
x=[1 1]
Ax不等于0 但是 矩阵A行列式等于0
如果给出条件：任意一个非零列向量x,都有Ax不等于0
那么显然：Ax=0,只有零解,所以得证.
所以题目可以修正为：
设一个n阶矩阵A,x为任意列向量,x不等于0,必有Ax不等于0.
求证：矩阵A行列式不等于0.