设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．

Question

设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a²+b²+c²-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．

Answer 1

由已知等式可得：（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=26 ①，
令a-b=m，b-c=n，则a-c=m+n，其中m，n均为自然数，
于是，等式①变为m²+n²+（m+n）²=26，即m²+n²+mn=13 ②
由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m，n只有两组：

m＝3

n＝1

和

m＝1

n＝3.

（1）当m=3，n=1时，b=c+1，a=b+3=c+4．
又a，b，c为三角形的三边长，所以b+c＞a，即（c+1）+c＞c+4，解得c＞3．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+1）+c≤30，
解得c≤(25)/(3)，因此3＜c≤(25)/(3)，
所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形．
（2）当m=1，n=3时，b=c+3，a=b+1=c+4．又a，b，c为三角形的三边长，
所以b+c＞a，即（c+3）+c＞c+4，
解得c＞1．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+3）+c≤30，解得c≤(23)/(3)．
因此1＜c≤(23)/(3)，
所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11．