设函数f（x）=n2x2（1-x）n（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为．

Question

设函数f（x）=n²x²（1-x）ⁿ（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为______．

Answer 1

f′（x）=2n²x（1-x）ⁿ-n×n²x²（1-x）^n-1
=n²x（1-x）^n-1（2-2x-nx）=-n²x（1-x）^n-1[（n+2）x-2]=0
得x=0，或x=1，或x=(2)/(n+2)
f（x）在[0，1]上是x的变化情况如下：
∴f（x）在[0，1]上的最大值为4((n)/(n+2))n+2
故答案为：4((n)/(n+2))n+2