已知f(x)=x+1/x,对n≥2,n∈N,x>0,求证[f(x)]^n-f(x^n)≥2^n-2

Question

已知f(x)=x+1/x,对n≥2,n∈N,x>0,求证[f(x)]^n-f(x^n)≥2^n-2

Answer 1

数学归纳法
n=3时,
不等式左边=(x+1/x)^3-x^3-1/x^3
=x^3+1/x^3+3x+3/x-x^3-1/x^3
=3x+3/x>=2√（3x*3/x)=6=2^3-2=右边
所以当n=3时,不等式成立
假设当n=k时(x+1/x)^k-x^k-1/x^k>=2^k-2
上式左右两边同乘以(x+1/x)
(x+1/x)^(k+1)-x^k(x+1/x)-1/x^k*(x+1/x)>=(2^k-2)(x+1/x)
(x+1/x)^(k+1)-x^(k+1)-x^(k-1)-1/x^(k-1)-1/x^(k+1)>=(2^k-2)*2√(x*1/x)=2^(k+1)-4
[(x+1/x)^(k+1)-x^(k+1)-1/x^(k+1)]>=2^(k+1)-4+x^(k-1)+1/x^(k-1)>=2^(k+1)-4+2√x^(k-1)*1/x^(k-1)=2^(k+1)-4+2=2^(k+1)-2
即[(x+1/x)^(k+1)-x^(k+1)-1/x^(k+1)]>=2^(k+1)-2
即当n=k+1时,不等式也成立
所以[f(x)]^n-f(x^n)≥2^n-2