两数和相同差小积大两个数的和一定,他们的差越小积越大,这是定理吗?怎么证明?

Question

两数和相同差小积大
两个数的和一定,他们的差越小积越大,这是定理吗?怎么证明?

Answer 1

这句话确实是对的,但有没有专门的定理我就不清楚了,不过证明并不难.
　　先说一个与该“定理”相关的应用吧.矩形你知道吧?就是4个角都是直角的四边形,也就是长方形和正方形的统称.显然,矩形的周长就是两邻边和的2倍；面积就等于两个邻边之积.
　　当矩形周长确定时,邻边之和就固定了；此时：邻边之差越小,面积就会越大.直观表现就是：矩形越接近正方形,面积就越大；达到正方形时,面积最大.

　　说到证明,楼上确实给出了一种证明方法,而且对于x、y取任意实数都有效.不过感觉并没有直接表达出你的“定理”来.我给你另一种证明：
　　设有任意两个实数x、y,满足：x＋y＝c,c是一个常数.
记：A＝x·y；t＝｜x－y｜；显然,我们要证明的就是：
　　A随着t的减小而增大；当t取最小值——0时,A达到最大值；

证明：
　　因为x、y是任意选取的,而t是带绝对值的,所以,本题结果与x、y谁大谁小是没有关系的.为方便计算,不妨设：x≥y；那么：
　　t＝x－y；
又因为：
　　x＋y＝c；
联立两个等式,可得：
　　x＝（c＋t）/2；
　　y＝（c－t）/2；
所以：
　　A＝x·y＝（c＋t）·（c－t）/4＝（c²－t²）/4；
可见：
　　c为常数时,A是t的函数；
并且由于t∈［0,＋∞）,可知：
　　A随t的增大而减小；随t的减小而增大；
　　当t取最小值——0时,A达到最大值——c²/4；