已知函数f（x）=1+xsinx-1x，记a=limx→0f(x)，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若当x→0时，f（x）-a与xk是同阶无穷小，求常数k的值．

Question

已知函数f（x）=(1+x)/(sinx)-(1)/(x)，记a=

lim

x→0

f(x)，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若当x→0时，f（x）-a与x^k是同阶无穷小，求常数k的值．

Answer 1

（I）
∵x→0时，sinx～x，
∴

lim

x→0

f(x)＝

lim

x→0

(x2+x−sinx)/(xsinx)=

lim

x→0

(x2+x−sinx)/(x2)＝

lim

x→0

(2x+1−cosx)/(2x)=

lim

x→0

(2+sinx)/(2)＝1
即：a=1．

（II）
∵f(x)−a＝f(x)−1＝(x2+x−sinx−xsinx)/(xsinx)=((1+x)(x−sinx))/(xsinx)，
而当：x→0时，xsinx～x²，x-sinx～(1)/(6)x3，
∴当x→0时，f（x）-a～(1)/(6)x，
即：

lim

x→0

(f(x)−a)/(x)＝(1)/(6)，
从而：f（x）-a与x是同阶无穷小，
∴k=1．