什么叫高阶无穷小?什么叫低阶无穷小?o﹙Δx﹚为什么叫高阶无穷小而不叫叫低阶无穷小?

Question

什么叫高阶无穷小?什么叫低阶无穷小?o﹙Δx﹚为什么叫高阶无穷小而不叫叫低阶无穷小?

Answer 1

设α与β都是x的函数,且limα=0,limβ=0,即α,β都是无穷小.
若lim(β/α)=0,就说β是比α较高阶的无穷小,即β→0比α→0要快一些；
若lim(β/α)=∞,就说β是比α较低阶的无穷小,即β→0比α→0要慢一些；
若lim(β/α)=c≠0,就说β是比α较同阶的无穷小,即β→0与α→0是同样程度；
若lim(β/α)=1,就说β是比α较等阶的无穷小,记作α∽β；
若lim(β/α^k)=c≠0,k>0,就说β是关于α的k阶无穷小.
符号φ(x)=o（ψ(x))表示函数φ(x)是比函数ψ(x)较高阶的无穷小,或φ(x)是比ψ(x)较低阶的无穷大；
符号φ(x)=O*(ψ(x))则表示φ(x)与比函数ψ(x)是同阶的无穷小,或无穷大.